對定義在[-1,1]上的函數(shù)f(x),若存在常數(shù)A>0,使得對任意x1、x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤A·|x1-x2|,則稱f(x)具有性質(zhì)L.問函數(shù)f(x)=x2+3x+5與g(x)=|是否具有性質(zhì)L?試證明之.

思路分析:要確定一個函數(shù)具有性質(zhì)L,其關(guān)鍵是要能找到滿足題設條件中的常數(shù)A,而要確定一個函數(shù)不具有性質(zhì)L,則一般需通過反證法來證明或?qū)ふ乙粋反例.

解析:(1)對于f(x)=x2+3x+5,任取x1、x2∈[-1,1],

|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22+3(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+3)|

=|x1-x2|·|x1+x2+3|

≤|x1-x2|·(|x1|+|x2|+3)

≤5|x1-x2|.

∴存在A=5,使f(x)具有性質(zhì)L.

(2)對于g(x)=,設它具有性質(zhì)L,任取x1、x2∈[0,1],則|g(x1)-g(x2)|=|-|

=≤A|x1-x2|,

∴A≥,

≤2.

∈(0,2].取x1=≤1,x2=,有,與矛盾,故g(x)=不具有性質(zhì)L


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•黃岡模擬)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:
①對x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)
②f(-5)=-1;
③當x1,x2∈[0,3]且x1≠x2時,都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0則
(1)f(2009)=
-1
-1

(2)若方程f(x)=0在區(qū)間[a,6-a]上恰有3個不同實根,實數(shù)a的取值范圍是
(-9,-3]
(-9,-3]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2003•北京)設y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y=f(x),且使得對任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請舉一例:若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年江西省高三上學期第三次月考數(shù)學文卷 題型:解答題

(12分)對定義在[0, 1]上并且滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為G函數(shù)。①對任意的,②成立。已知是定義在[0, 1]上的函數(shù)。

(1)問是否為G函數(shù),說明理由;

(2)若是G函數(shù),求實數(shù)m取值的范圍。

 

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科目:高中數(shù)學 來源:北京 題型:解答題

設y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y=f(x),且使得對任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請舉一例:若不存在,請說明理由.

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