設(shè)f(x)=
4x
4x+a
，且f（x）的圖象過點( 
1
2
，
1
2
 )，
（1）求f（x）表達式；
（2）計算f（x）+f（1-x）；
（3）試求f(
1
2007
)+f(
2
2007
)+f(
3
2007
)+…+f(
2005
2007
)+f(
2006
2007
)的值．
分析：（1）f（x）的圖象過點( 
1
2
，
1
2
 )，將其坐標代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a的方程，求出a；
（2）由（1）f(x)=
4x
4x+2
，故有f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
，整理得其值為1；
（3）由（2）的結(jié)論，對函數(shù)f（x），當自變量的和為1時函數(shù)值和也為1，觀察f(
1
2007
)+f(
2
2007
)+f(
3
2007
)+…+f(
2005
2007
)+f(
2006
2007
)的形式發(fā)現(xiàn)，其可以分成1003組，每組的自變量的和為1，由此解法自明．
解答：解：（1）∵f(x)=
4x
4x+a
過點( 
1
2
，
1
2
 )
∴f(
1
2
)=
4
1
2
4
1
2
+a
=
2
2+a
=
1
2
，解得a=2∴f(x)=
4x
4x+2

（2）f(x)+f(1-x)=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
=
4x(41-x+2)+41-x(4x+2)
(4x+2)(41-x+2)
=
8+2•4x+2•41-x
8+2•4x+2•41-x
=1
（3）∵f（x）+f（1-x）=1
∴f(
1
2007
)+f(
2006
2007
)=f(
2
2007
)+f(
2005
2007
)=…=f(
1002
2007
)+f(
1005
2007
)=f(
1003
2007
)+f(
1004
2007
)=1
f(
1
2007
)+f(
2
2007
)+f(
3
2007
)++f(
2005
2007
)+f(
2006
2007
)=1003
點評：本題考點是指數(shù)型函數(shù)，本題特點是其為一遞進式結(jié)構(gòu)，后一問要用上上問的結(jié)論，本題是一個探究規(guī)律型的題，可以用來訓練答題者的觀察能力，技巧性較強．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
4x
4x+2
，若0＜a＜1，試求：
（1）f（a）+f（1-a）的值；
（2）f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…f(
2010
2011
)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
4x
4x+2
，利用倒序相加法（課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法），可求得f(
1
2015
)+f(
2
2015
)+f(
3
2015
)+…f(
2014
2015
)的值為
1007
1007
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
4x
4x+2
．則f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
1006
1006
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
4x
4x+2
，則f(
1
11
)+f(
2
11
)+f(
3
11
)+…+f(
10
11
)=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
4x
4x+2
，若0＜a＜1，試求：
（1）f（a）+f（1-a）的值；
（2）f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)+f(
2013
2013
)的值．

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