Question

定義域和值域均為[-a，a]（常數(shù)a＞0）的函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖所示：
現(xiàn)有以下命題：
（1）方程f[g（x）]=0有且僅有三個(gè)解；
（2）方程g[f（x）]=0有且僅有三個(gè)解；
（3）方程g[g（x）]=0有且僅有一個(gè)解；
（4）方程f[f（x）]=0有且僅有九個(gè)解．
則其中正確的命題是（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（1）（3）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：通過f（x）=0有三個(gè)解，g（x）=0有一個(gè)解，具體分析（1），（2），（3），（4）推出正確結(jié)論．

解答：解：（1）方程f[g（x）]=0有且僅有三個(gè)解，等價(jià)于g（x）在[-a，a]上有三個(gè)不同值，
由于y=g（x）在[-a，a]上是減函數(shù)，所以方程f[g（x）]=0有且僅有三個(gè)解，故（1）正確；
（2）由于y=g（x）在[-a，a]上是減函數(shù)，f（x）=0有3個(gè)解，當(dāng)f（x）∈（0，a）時(shí)，
方程g[f（x）]=0可能有一個(gè)解，可能有2個(gè)解，可能有3個(gè)解，故（2）不正確；
（3）由于y=g（x）在[-a，a]上是減函數(shù)，故當(dāng)g（x）∈[-a，a]時(shí)，方程g[g（x）]=0有且僅有一個(gè)解．
故（3）正確．
（4）由于f（x）=0有3個(gè)解為：x₁＜x₂＜0＜x₃，若f（x）＜0，則方程f[f（x）]=0可得，f（x）=x₁，
或f（x）=x₂，而由f（x）的圖象可得，滿足f（x）=x₁ 的解有3個(gè)，滿足f（x）=x₂的解也有3個(gè)．
若f（x）＞0，則有 f（x）=x₃，而由f（x）的圖象可得，滿足f（x）=x₃ 的解可能有1個(gè)、2個(gè)、或3個(gè)，
故方程f[f（x）]=0的解有7個(gè)、8個(gè)、或9個(gè)，由此可得（4）不正確；
故選C．

點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力及識別圖象的能力，是基礎(chǔ)題．