已知正項數(shù)列{an}，數(shù)學公式
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)學公式，求數(shù)列{bn}的前n項和．

解：（1）
∴8an+1=（an+1+2）2-（an+2）2
∴（an+1-2）2-（an+2）2=0
∴（an+1+an）（an+1-an-4）=0
∵an＞0，
∴an+1+an≠0
∴an+1-an=4所以{an}是等差數(shù)列
（2）由 （1）知：，解得a1=2
∴an=4n-2，則
∴{bn}是以b1=-29為首項，d=2為公差的等差數(shù)列
∴數(shù)列{bn}的前n項和為-29n+×2=n2-30n．
分析：（1）根據(jù)數(shù)列Sn與an的固有關系an=，求出an+1-an-4=0后即可證明{an}是等差數(shù)列．
（2）在（1）的基礎上求出an=4n-2，則，再利用等差數(shù)列前n項和公式計算得出結(jié)果．
點評：本題考查等差數(shù)列的定義、判斷，前n項和的計算，用到了數(shù)列中Sn與an的固有關系，考查計算、變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、論證能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
（2）設bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　�。�
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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