Question

20．若直線y=2x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且僅有一個公共點，則b的取值范圍為{b|-4≤b＜4，或b=$2\sqrt{5}$}．

Answer 1

分析 把曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$轉(zhuǎn)化變形，然后畫出圖形，求出直線y=2x+b過點（2，0）時的b值，及直線y=2x+b與圓x²+y²=4切于第二象限時的b值，則b的取值范圍可求．

解答 解：由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，得x²+y²=4（y≥0），
如圖，當直線y=2x+b過點（2，0）時，直線y=2x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且僅有一個公共點，此時有2×2+b=0，即b=-4；
平移直線y=2x+b，由對稱性可知，當b＜4時，直線y=2x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且僅有一個公共點；
當直線y=2x+b與圓x²+y²=4切于第二象限時，直線y=2x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且僅有一個公共點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得5x²+4bx+b²-4=0．
由△=16b²-4×5（b²-4）=-4b²+80=0，
解得：b=$±2\sqrt{5}$．
∴b=$2\sqrt{5}$．
∴直線y=2x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且僅有一個公共點的b的取值范圍為{b|-4≤b＜4，或b=$2\sqrt{5}$}．
故答案為：{b|-4≤b＜4，或b=$2\sqrt{5}$}．

點評 本題考查曲線與方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．