Question

已知橢圓

x= 2 cosα y=sinα

．
（1）求方向向量為

a

=（-1，-2）的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．（即斜率為2）
（2）過A（2，1）的直線L與橢圓相交，求L被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先化參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程建立方程組利用中點(diǎn)求得直線方程．
（2）利用中點(diǎn)弦的公式直接求得結(jié)果．
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論建立中點(diǎn)關(guān)系，利用點(diǎn)斜式求的直線方程．

解答： 解（1）解（1）設(shè)這些平行弦的方程為y=2x+m，弦的中點(diǎn)為M（x，y）．
聯(lián)立直線方程和橢圓方程：

y=2x+m x2 2 +y2=1

，
消去y得：9x²+8mx+2（m²-1）=0，
x1+x2=-

8

9

m，
由△＞0解得：-3＜m＜3，
由2x=x₁+x₂，x=-

4

9

m，
消去m得：y=-

1

4

x  （-

4

3

＜x＜

4

3

）；
（2）設(shè)弦的端點(diǎn)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），其中點(diǎn)是M（x，y）．
則：

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，
KPQ=

y2-y1

x2-x1

=-

x

2y

，

∵K_PQ=K_AM
∴

y-1

x-2

=-

x

2y

，
化簡得：x²-2x+2y²-2y=0（夾在橢圓內(nèi)部的部分）
（3）由（2）得：K=-

x

2y

，且滿足過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

），K=-

1

2

，
所求的直線方程為：y+

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

），
即：2x+4y-3=0．
故答案為：（1）y=-

1

4

x  （-

4

3

＜x＜

4

3

）；
（2）x²-2x+2y²-2y=0；
（3）2x+4y-3=0．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線和圓錐曲線的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)弦公式及相關(guān)的運(yùn)算問題．