Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段AD₁上的點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時(shí)，求證：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）試證無(wú)論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面ABC₁D₁⊥平面PDB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PDB內(nèi)一直線與平面ABC₁D₁垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知DP⊥平面ABC₁D₁；
（II）根據(jù)AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點(diǎn)，得到三角形PBC₁的面積為定值，再根據(jù)CD∥平面ABC₁D₁，得到點(diǎn)D到平面PBC₁的距離為定值，從而得到三棱錐D-BPC₁的體積為定值，在利用體積公式求出三棱錐D-PBC₁的體積即可．
解答：證明：（Ⅰ）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1時(shí)，P為AD₁的中點(diǎn)，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，
∴DP⊥平面ABC₁D₁，
又DP?平面PDB，∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB．

（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點(diǎn)，
∴三角形PBC₁的面積為定值，
即，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴點(diǎn)D到平面PBC₁的距離為定值，即，
∴三棱錐D-BPC₁的體積為定值，
即．
也即無(wú)論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及棱錐的體積等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．