Question

已知函數(shù)()，其圖像在處的切線方程為．函數(shù)，．

（1）求實(shí)數(shù)、的值；

（2）以函數(shù)圖像上一點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求的取值范圍；

（3）求最大的正整數(shù)，對(duì)于任意的，存在實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，使得．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由已知可先求出切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，又切點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且在該處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而可列方程組為，故可求出實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即兩圓相交，考慮到兩圓的半徑差為1、和為3，所以?xún)蓤A心距離的范圍應(yīng)為，再通過(guò)配方法，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）考慮到函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以，若，則對(duì)任意，有，即當(dāng)時(shí)，要有，整理有，令，由函數(shù)的單調(diào)性、最值及零點(diǎn)可得，從而問(wèn)題可得證，這題有一定難度.

試題解析：（1） 當(dāng)時(shí)，，，故，解得． 3分

（2）問(wèn)題即為圓與以為圓心1為半徑的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩圓相交．設(shè)，則，即，，，

必定有解； 6分

，，

故有解，須，又，從而． 8分

（3）顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，于是，若，則對(duì)任意，有．

當(dāng)時(shí)，，令，

則．令，則，故在上為增函數(shù)，又，，因此存在唯一正實(shí)數(shù)，使．故當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，因此在有最小值，又，化簡(jiǎn)得，． 13分

下面證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)，有．

當(dāng)時(shí)，．令，

則，故在上為減函數(shù)，于是．

同時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

結(jié)合函數(shù)的圖像可知，對(duì)任意的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，使得．

綜上所述，正整數(shù)的最大值為3． 16分

考點(diǎn)：1.函數(shù)單調(diào)性、最值；2.導(dǎo)數(shù)；3.圓的位置關(guān)系.