Question

（（本小題滿分13分）

若為集合且的子集，且滿足兩個條件：

①；

②對任意的，至少存在一個，使或.

則稱集合組具有性質(zhì).

如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為.

		…
		…
…	…	…	…
		…

（Ⅰ）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；

集合組1：；

集合組2：.

（Ⅱ）當時，若集合組具有性質(zhì)，請先畫出所對應的行3列的一個數(shù)表，再依此表格分別寫出集合；

（Ⅲ）當時，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個數(shù)）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì).                                ……………1分

所對應的數(shù)表為：

………………3分

集合組2不具有性質(zhì).                                      …………4分

因為存在，

有，

與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，

所以集合組不具有性質(zhì).      ………5分

（Ⅱ）

 ……………7分

.                 ………………8分

 （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）

（Ⅲ）設所對應的數(shù)表為數(shù)表，

因為集合組為具有性質(zhì)的集合組，

所以集合組滿足條件①和②，

由條件①：，

可得對任意，都存在有，

所以，即第行不全為0，

所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0.                   ………………9分

由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同.

所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同.               ………………10分

因為由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個，

又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以，

所以.

又時，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的數(shù)組，共個，

選擇其中的個數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對應的集合組滿足條件①②，

即具有性質(zhì).

所以.              ……………12分

因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù)，

所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數(shù)盡可能少，

而時，在數(shù)表中，

的個數(shù)為的行最多行；

的個數(shù)為的行最多行；

的個數(shù)為的行最多行；

的個數(shù)為的行最多行；

因為上述共有行，所以還有行各有個，

所以此時表格中最少有個.

所以的最小值為304.                   ………………14分

 

【解析】略