Question

14．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M在棱BB₁上，兩條直線MA，MC與平面ABCD所成角均為θ，AC與BD交于點(diǎn)O．
（1）求證：AC⊥OM；
（2）當(dāng)M為BB₁的中點(diǎn)，且θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，求二面角A-D₁M-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由 MC與平面ABCD所成角均為θ，得∠MAB=∠MCB=θ．BA=BC．四邊形ABCD為正方形，即可得AC⊥面BDM，即AC⊥OM．
（Ⅱ）  θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，則有AB=BC=MB，延長(zhǎng)D₁M，DB交于點(diǎn)點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥D₁H于點(diǎn)N，連接AN，則∠ANO為二面角A-D₁M-B的平面角，利用平面幾何知識(shí)即可求解．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵M(jìn)B⊥面ABCD，直線MA，MC與平面ABCD所成角均為θ，∴∠MAB=∠MCB=θ．
故△MBA≌MBC，BA=BC．
∴四邊形ABCD為正方形，AC⊥DB，又AC⊥MB，DB∩MB=B
∴AC⊥面BDM，即AC⊥OM．
（Ⅱ）  θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，則有AB=BC=MB，延長(zhǎng)D₁M，DB交于點(diǎn)點(diǎn)H，
過(guò)點(diǎn)O作ON⊥D₁H于點(diǎn)N，連接AN，則∠ANO為二面角A-D₁M-B的平面角．
設(shè)AB=1，由△D₁DH∽△ONH易得ON=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan∠ANO=$\frac{AO}{ON}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠ANO=30°
二面角A-D₁M-B₁的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線線垂直的判定，幾何法求二面角，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，