Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=a_n+1+n²
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和，即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）S_n+1=a_n+1+n²，則S_n+1-S_n=a_n+1+n²-a_n-（n-1）²=a_n+1-a_n+（2n-1），
即a_n+1=a_n+1-a_n+（2n-1），
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1；
（2）${b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題