已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0和f(x-2)+f(x)=0,且當(dāng)x∈[1,2]時(shí)f(x)=1-(x-2)2.若直線y=kx(k為常數(shù)),與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(-2,5)上恰有4個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。
A、(2
15
-8,0)
B、(2
3
-4,0)
C、(-
1
2
,0
D、(-
1
4
,0
分析:依題意,可求得y=f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱;①是偶函數(shù);②是以4k(k∈Z且k≠0)為周期的函數(shù);③函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,④;依此作圖,及可求得答案.
解答:解:∵f(2-x)+f(x)=0,
∴y=f(x)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱對(duì)稱;①
又f(x-2)+f(x)=0,
∴f(2-x)=f(x-2)=f[-(2-x)],
∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù);②
又f(x-2)+f(x)=0,
∴f(x-2)=-f(x),
∴f(x-4)=-f(x-2)=f(x),
∴函數(shù)f(x)是以4k(k∈Z且k≠0)為周期的函數(shù);③
由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)得:f(2-x)+f(x)=0?f(2+x)+f(-x)=0?f(2+x)+f(x)=0,
∴f(2+x)=f(2-x),即函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,④
又當(dāng)x∈[1,2]時(shí)f(x)=1-(x-2)2,
∴由①②③④作圖如下:
精英家教網(wǎng)
由圖知,當(dāng)k>0時(shí),直線y=kx(k為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(-2,5)上恰有3個(gè)公共點(diǎn),不符合題意;
∴k<0,令y=g(x)=kx,
則g(4)=4k>-1,
解得:-
1
4
<k<0.
故選:D.
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時(shí)f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對(duì)x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當(dāng)f(-3)=-2時(shí),f(2013)的值為( 。
A、-2B、2C、4D、-4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案