Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點P．
（1）求C的標準方程；
（2）直線l與C交于A、B兩點，M為AB中點，且AB=2MP．請問直線l是否經(jīng)過某個定點，如果經(jīng)過定點，求出點的坐標；如果不過定點，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由 ，設(shè)C標準方程為代入，可得，∴a²=2，
∴C的方程為
（2）若l斜率存在，設(shè)AB坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l方程為y=kx+b代入橢圓方程整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，∴，
由AB=2MP得AP⊥PB，即，則，
即∵
代入化簡得，
若，則過定點，不合題意，舍去；
若，則過定點；
若l斜率不存在，通過，
綜上所述，l通過定點，此點坐標為．
分析：（1）由 ，設(shè)C標準方程，代入，可得a²=2，從而可得C的方程；
（2）若l斜率存在，設(shè)l方程為y=kx+b代入橢圓方程整理，利用韋達定理，由AB=2MP得AP⊥PB，即，由此可得k，b的關(guān)系，從而可得結(jié)論；若l斜率不存在，驗證即可．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．