Question

記（b_n）_i=i++log2，其中i，n∈N^*，i≤n，如（b_n）₃=3++log2，令S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n．
（I）求（b_n）₁+（b_n）_n的值；　
（Ⅱ）求S_n的表達式；
（Ⅲ）已知數(shù)列{a_n}滿足S_n•a_n=1，設數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，若對一切n∈N^*，不等式恒成立，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

解：（I）∵（b_n）_i=i++log2，
∴（b_n）₁+（b_n）_n=（1++）+（n+）
=n+2+
=n+2．
（Ⅱ）∵S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n，
S_n=（b_n）_n+（b_n）_n-1+…+（b_n）₂+（b_n）₁，
∴2S_n=（b_n）₁+（b_n）_n+（b_n）₂+（b_n）_n-1+（b_n）₃+（b_n）_n-2+…+（b_n）_n+（b_n）₁
=n（n+2），
∴．
（Ⅲ）∵=，
∴
=，
當≤恒成立．
∴恒成立，
∴11λ-3n²≤-11（2n+3）恒成立，
∴恒成立，
∴，
而，n∈N^*．
∴n=4時，取得最小值．
∴，實數(shù)λ的最大值為．
分析：（I）由（b_n）_i=i++log2，知（b_n）₁+（b_n）_n=（1++）+（n+），由此能求出（b_n）₁+（b_n）_n=n+2．
（Ⅱ）由S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n，知S_n=（b_n）_n+（b_n）_n-1+…+（b_n）₂+（b_n）₁，從而得到2S_n=（b_n）₁+（b_n）_n+（b_n）₂+（b_n）_n-1+（b_n）₃+（b_n）_n-2+…+（b_n）_n+（b_n）₁=n（n+2），由此能求出S_n的表達式．
（Ⅲ）由=，知=，故≤恒成立，從而得到，由此能求出實數(shù)λ的最大值．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是的推導．解題時要認真審題，仔細解答．