Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點為 F₁（-1，0），F₂（1，0），左、右頂點分別為A，B，離心率為

3

3

，動點P到F₁，F₂的距離的平方和為6．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若C(

3

，

，3

)，D(-

3

，

，3

)，Q為橢圓上位于x軸上方的動點，直線DM•CN，BQ分別交直線m于點M，N．
（i）當直線AQ的斜率為

1

2

時，求△AMN的面積；
（ii）求證：對任意的動點Q，DM•CN為定值．

Answer 1

分析：（1）利用動點P到F₁，F₂的距離的平方和為6，建立方程，化簡可得P的軌跡方程；
（2）確定橢圓的方程，求出M、N的坐標，（ i）當直線AQ的斜率為

1

2

時，直線方程與橢圓方程聯立，表示出三角形的面積，即可求△AMN的面積；（ii）表示出DM，CN，計算DM•CN，可得定值．

解答：（1）解：設P（x，y），則PF12+PF22=6，
即（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=6，整理得，x²+y²=2，
所以動點P的軌跡方程為x²+y²=2．…（4分）
（2）解：由題意知，

a2-b2=1 1 a = 3 3

，解得

a= 3 b2=2

，
所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．  …（6分）
則A(-

3

，0)，B(

3

，0)，設Q（x₀，y₀），y₀＞0，則2x02+3y02=6，
直線AQ的方程為y=

y0

x0+ 3

(x+

3

)，令y=

3

，得M(

3 x0- 3 y0+3

y0

，

3

)，
直線BQ的方程為y=

y0

x0- 3

(x-

3

)，令y=

3

，得N(

3 x0+ 3 y0-3

y0

，

3

)，
（ i）當直線AQ的斜率為

1

2

時，有

y0 x0+ 3 = 1 2 2x02+3y02=6

，消去x₀并整理得，11y02-8

3

y0=0，解得y0=

8 3

11

或y₀=0（舍），…（10分）
所以△AMN的面積S△AMN=

3

2

×MN=

3

2

×|

3 x0- 3 y0+3

y0

-

3 x0+ 3 y0-3

y0

|=3×|

3 -y0

y0

|=

9

8

．   …（12分）
（ii）DM=|

3 x0- 3 y0+3

y0

+

3

|=|

3 x0+3

y0

|，CN=|

3 x0+ 3 y0-3

y0

-

3

|=|

3 x0-3

y0

|，
所以DM•CN=|

3 x0+3

y0

|•|

3 x0-3

y0

|=|

3x02-9

y02

|=|

3x02-9

6-2x02 3

|=

9

2

．
所以對任意的動點Q，DM•CN為定值，該定值為

9

2

．    …（16分）

點評：本題考查軌跡方程，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，綜合性強．