設(shè)各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:對于任意的自然數(shù)n,都有log0.5a1+
log0.5a2
2
+
log0.5a3
3
+…+
log0.5an
n
=n(n∈N*)

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}滿足bn=(n+2)(
9
5
)nan
,試求數(shù)列{bn}的最大項;
(Ⅲ)令c1=3,cn=3an-1(n≥2),Sn=
n
i=1
ci
,是否存在自然數(shù)c,k,使得
Sk+1-c
Sk-c
>3
成立?證明你的論斷.
分析:(Ⅰ) 類比于已知Sn求an,寫出n+1時表達(dá)式,再兩式相減,易得.
(Ⅱ)可求得bn=(n+2)(
9
10
)
n
,利用作差法判定單調(diào)性,求最大項
(Ⅲ) cn=
3
2n-1
,再求出Sn代入表達(dá)式,解關(guān)于c,k的不定方程,探討解的情況.
解答:解:(1)由題意,知:log0.5a1+
log0.5a2
2
+
log0.5a3
3
+…+
log0.5an
n
=n
.           ①
當(dāng)n≥2時,log0.5a1+
log0.5a2
2
+
log0.5a3
3
+…+
log0.5an-1
n-1
=n-1
.        ②
由①-②,知:當(dāng)n≥2時,
log0.5an
n
=1
,即an=(
1
2
)n
.    
當(dāng)n=1時,log0.5a1=1,a1=
1
2
適合上式.
所以,數(shù)列{an}的通項公式是an=(
1
2
)n(n∈N*)
.         
(2)由(1)知:bn=(n+2)(
9
10
)n

bnbn+1
bnbn-1
,即
(n+2)(
9
10
)n≥(n+3)(
9
10
)n+1
(n+2)(
9
10
)n≥(n+1)(
9
10
)n-1
.        
解得:7≤n≤8
因為n∈N*,所以,n=7或8
(3)由題意,知:當(dāng)n≥2時,cn=3an-1=
3
2n-1

又c1=3適合上式,故數(shù)列{cn}的通項公式為cn=
3
2n-1
.     
所以,Sn=
3[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
=6[1-(
1
2
)
n
]
.                     
假設(shè)存在自然數(shù)c,k,使得
Sk+1-c
Sk-c
>3
成立.即
6[1-(
1
2
)
k+1
]-c
6[1-(
1
2
)
k
]-c
>3

所以,
(6-c)•2k-3
(6-c)•2k-6
>3

所以,
(6-c)•2k-3
(6-c)•2k-6
-3=
-2(6-c)•2k+15
(6-c)•2k-6
>0

(6-c)•2k-
15
2
(6-c)•2k-6
>0

所以,6<(6-c)•2k
15
2

因為c,k為自然數(shù),所以,(6-c)•2k比為整數(shù),
所以,(6-c)•2k=7,所以,
2k=1
6-c=7
,即k=0,c=-1,不合題意
所以,不存在自然數(shù)c,k,使得
Sk+1-c
Sk-c
>3
成立.
點評:本題考查等比數(shù)列定義、通項公式、求和,數(shù)列的單調(diào)性、不定方程的解.考查分析解決問題、計算、邏輯思維,分類討論的思想方法和能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知2a2=a1+a3,數(shù)列{
Sn
}
是公差為d的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式(用n,d表示);
(2)設(shè)c為實數(shù),對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求證:c的最大值為
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2

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是公差為d的等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式(用n,d表示);
(Ⅱ)設(shè)c為實數(shù),對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求c的最大值.

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(2011•廣州一模)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知數(shù)列{
Sn
}
是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=
1
anS2n+1
+
an+1S2n-1
,若不等式
n
i=1
bi
L
2n+1
+1
對任意n∈N*都成立,求實數(shù)L的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省無錫市江陰市青陽中學(xué)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:對于任意的自然數(shù)n,都有
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}滿足,試求數(shù)列{bn}的最大項;
(Ⅲ)令c1=3,cn=3an-1(n≥2),,是否存在自然數(shù)c,k,使得成立?證明你的論斷.

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