Question

14．如圖，A、B、C為函數(shù)y=log₂x圖象上的三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)為t，t+2，t+4，（其中t≥1），AA₁、BB₁、CC₁與x軸垂直，垂足為A₁、B₁、C₁．
（1）寫出當(dāng)t=2時，A、B二點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△ABC的面積為S，求S與t函數(shù)關(guān)系式；
（3）判斷函數(shù)S=f（t）的單調(diào)性，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)當(dāng)t=2時，根據(jù)A、B二點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，4，求得A、B二點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得A、B二點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由題意可先表示三角形ABC的面積S=${S}_{{A}_{1}A{BB}_{1}}$+${S}_{{B}_{1}B{CC}_{1}}$-${S}_{{A}_{1}A{CC}_{1}}$=log₂ $\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}$，t≥1．
（3）根據(jù)函數(shù)S=f（t）=log₂（1+$\frac{4}{{t}^{2}+4t}$）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合a≥1可求得S的最大值．

解答 解：（1）寫出當(dāng)t=2時，A、B二點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，4，故A、B二點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為1，2，
故A、B二點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，1）、（4，2）．
（2）設(shè)△ABC的面積為S，則三角形ABC的面積S=${S}_{{A}_{1}A{BB}_{1}}$+${S}_{{B}_{1}B{CC}_{1}}$-${S}_{{A}_{1}A{CC}_{1}}$
=[log₂t+log₂（t+2）]+[log₂+（t+2）+log₂（t+4）]-$\frac{4}{2}$•[log₂t+log₂x（t+4）]
=2log₂（t+2）-[log₂t+log₂x（t+4）]=log₂ $\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}$，t≥1．
（3）∵函數(shù)S=f（t）=log₂ $\frac{{t}^{2}+4t+4}{{t}^{2}+4t}$=log₂（1+$\frac{4}{{t}^{2}+4t}$）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)t=1時，函數(shù)S=f（t）取得最大值為${log}_{2}\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用分割求解圖象的面積，對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值，屬于知識的簡單綜合，屬于中檔題．