Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a_n+1=3a_n+2n-1（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，并求a_n
（2）若數(shù)列{b_n}中1＞₂=6，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且9^T_n-a=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）∵a₁+1=3　　
∴{a_n+n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴an+n=3ⁿ
∴an=3ⁿ-n
（2）∵9^T_n-a=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），即3^2T_n-2n=3^nb_n
∴2T_n-2n=nb_n ①
由①得2T_n+1-2（n+1）=（n+1）b_n+1 ②，
②-①得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0 ③
由③得nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0 ④
④-③得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n
∴{b_n}是等差數(shù)列
由9^b1-1=3^b1 得b₁=2，又∵b₂=6
∴公差d=4
∴b_n=b₁+（n-1）d=4n-2
分析：（1）利用構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，將a_n+1=3a_n+2n-1寫(xiě)成a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）即可證明數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；
（2）首先將an的通項(xiàng)公式代入9^T_n-a=（a_n+n）^b_n整理得到2T_n-2n=nb_n 然后求出當(dāng)n=n+1時(shí)的式子，再兩式相減，求得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n判斷出{b_n}是等差數(shù)列；由
由9^b1-1=3^b1 得b₁=2，進(jìn)而求出公差，即可得到通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的通項(xiàng)公式，此題采用了構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，難度較大，屬于難題．