Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，則不等式x²•f（x）＞0的解集為（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• C、（-2，0）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性判斷函數(shù)f（x）的取值情況，即可求得不等式的解集．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，即g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，
∴在（0，+∞）內(nèi)g（x）單調(diào)遞增．
∵f（2）=0，
∴f（x）在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＜0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＞0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＜0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＞0．
又不等式x²f（x）＞0的解集等價(jià)為不等式f（x）＞0的解集．
∴不等式的解集為（-2，0）∪（2，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了奇偶函數(shù)的圖象特征．構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．