如圖,四棱錐P-A BCD中,底面ABCD為菱形,BD⊥面PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=
45
,M是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明PC⊥平面BMD;
(Ⅱ)若三棱錐M-BCD的體積為14,求菱形ABCD的邊長(zhǎng).
分析:(I)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明PC⊥BD,再在△PAC中利用余弦定理求出PC的長(zhǎng),從而證出PA∥MO,進(jìn)一步得PC⊥MO,最后根據(jù)線面垂直的判定定理可得PC⊥平面BMD;
(II)由題意知,將三棱錐M-BCD的體積轉(zhuǎn)換成三棱錐C-BMD的體積,再利用棱錐的體積公式列出等式求出菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng),從而得出菱形ABCD的邊長(zhǎng).
解答:解:(I)∵BD⊥面PAC,PC?面PAC,
∴PC⊥BD,
△PAC中,AC=10,PA=6,cos∠PCA=
4
5
,
∴PA2=PC2+AC2-2PC•ACcos∠PCA,
∴PC=8,
連結(jié)MO,∵M(jìn)是PC的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),
∴PA∥MO,∴PC⊥MO,又∵BD∩MO=O,
∴PC⊥平面BMD;
(II)由題意知:三棱錐M-BCD的體積為14,
即VM-BCD=VC-MBD=
1
3
S△MBD×CM=
1
6
BD•MO•CM=14,
∵CM=
1
2
PC=4,MO=
1
2
PA=3,
∴BD=7,
∴菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=
AO2+OB2
=
149
2
點(diǎn)評(píng):本題考查證明線面垂直的方法,直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用,棱錐的體積等,考查空間想象能力,屬于中檔題.
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(Ⅰ)證明PC⊥平面BMD;
(Ⅱ)若三棱錐M-BCD的體積為14,求菱形ABCD的邊長(zhǎng).

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如圖,四棱錐P-A BCD中,底面ABCD為菱形,BD⊥面PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=,M是PC的中點(diǎn).
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(Ⅱ)若三棱錐M-BCD的體積為14,求菱形ABCD的邊長(zhǎng).

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