Question

14．數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，其中a₁=2，a_n+1是a_n與2a_n+a_n+1的等比中項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$．T_n為{b_n}的前n項和，求使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$成立時n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}（2{a}_{n}+{a}_{n+1}）$，結合數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，整理可得a_n+1=2a_n，即數(shù)列{a_n}為公比是2的等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，整理后利用裂項相消法求得{b_n}的前n項和，代入${T_n}＞\frac{2015}{2016}$求解不等式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}（2{a}_{n}+{a}_{n+1}）$，即${{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n}{a}_{n+1}-2{{a}_{n}}^{2}=0$，
整理得：（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
∴a_n+1=2a_n或a_n+1=-a_n．
∵數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，
∴a_n+1=2a_n，
則數(shù)列{a_n}為公比是2的等比數(shù)列，
又∵a₁=2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=$1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
要使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$，
即$1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}＞1-\frac{1}{2016}$，
∴2ⁿ⁺¹＞2017，即n+1≥11．
∴n的最小值為10．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．