Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，a≠0，a≠1）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n之間的關(guān)系：n=1時(shí)，a₁=s₁；n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（Ⅱ）將通項(xiàng)a_n代入已知條件S_n=a（S_n-a_n+1）即可求出S_n的表達(dá)式，將a_n與S_n代入b_n的表達(dá)式，據(jù)已知條件數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，利用=b₁b₃即可求出a的值．
解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a（S₁-a₁+1），∴a₁=a，…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）
兩式相減得：a_n=a•a_n-1，（a≠0，n≥2），即{a_n}是等比數(shù)列  …（5分）
∴…（7分）
（Ⅱ）由a≠1得=，…（10分）
若{b_n}為等比數(shù)列，則有，而，，
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），
解得，…（12分）
再將a=代入b_n得即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
所以a=．                                                   …（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n之間的關(guān)系，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．較好地檢驗(yàn)了學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力．