解析:分析1:由于m為任意實數(shù),直線方程表示直線系,任取m的兩個值,可得直線系中的兩條直線,這兩條直線的交點即是直線系過的定點.
證明:取m=1時,直線方程為y=-4. ①
取m=時,直線方程為x=9. ②
顯然,直線①,②的交點為P(9,-4).
把點P的坐標代入原直線系方程的左端,得
(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)·9-(2m-1)·4=m-5,
故不論m為何實數(shù),點P(9,-4)總在直線系(m-1)x+(2m+1)y=m-5上.
即此直線過定點P(9,-4).
分析2:m為任意實數(shù),則方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5是對m而言的恒等式,根據(jù)恒等式定理,由m的一次項系數(shù)與常數(shù)項均等于零,就可得到直線系通過的定點坐標.
證明:將原方程按m的降冪排列,整理得
(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式對于m的任意實數(shù)值都成立,根據(jù)恒等式的要求,m的一次項系數(shù)與常數(shù)項均等于零,故有
解得
∴m為任意實數(shù)時,所給直線必通過定點(9,-4).
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