Question

 

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數(shù)；

（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當(dāng)時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

（2）,,

令得,所以,即,當(dāng)時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時, 即當(dāng)C點到城A的距離為時, 函數(shù)有最小值.

解法二: （1）同上.

（2）設(shè),

則,,所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時取”=”.

下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).

設(shè)0<m₁<m₂<160,則

 

,

因為0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).

同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m₁<m₂<400,則

因為1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).

所以當(dāng)m=160即時取”=”,函數(shù)y有最小值,

所以弧上存在一點，當(dāng)時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.

【命題立意】:本題主要考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,運用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題.