Question

設(shè)點(diǎn)列A_n（x_n，0）、P_n（x_n，2^n-1）和拋物線列Cn：y=x2+

x

2n

+an（n∈N*），x_n由以下方法得到：點(diǎn)P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線Cn：y=x2+

x

2n

+an上，點(diǎn)A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點(diǎn)的最短距離；試寫出x_n+1和x_n之間的遞推關(guān)系式為x_n+1=

 

（用x_n表示）．

Answer 1

分析：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合問題，涉及了拋物線方程、直線與拋物線的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)及其幾何意義等多方面的知識(shí)和方法．要充分利用點(diǎn)在拋物線上則滿足拋物線方程，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用點(diǎn)p（x，y）表示||AnP|，然后借助于導(dǎo)數(shù)，因?yàn)辄c(diǎn)A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點(diǎn)的最短距離，所以有f'（x_n+1）=0，建立方程，最終使問題得到解決．

解答：解：由題意得設(shè)點(diǎn)P（x，y）是Cn上任意一點(diǎn)，
則|A_nP|=

(x-xn)2+(x2+ x 2n +an )2

，令

f(x)

 =

(x-xn)2+(x2+ x 2n +an )2

．
則f'（x）=2（x-x_n）+2（x²+

x

2n

+a_n）（2x+

1

2n

）
因?yàn)辄c(diǎn)A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點(diǎn)的最短距離，所以f'（x_n+1）=0，
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+

x

2n

+a_n）（2x_n+1+

1

2n

）=0
又點(diǎn)P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線Cn：y=x2+

x

2n

+an上，
∴2n=xn+12+

xn+1

2n

+an，從而可得xn+1=

xn-1

2n+1+1

，
故答案為：xn+1=

xn-1

2n+1+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題的綜合性極強(qiáng)，是多種知識(shí)和方法的匯總，處理起來難度較大，不僅需要具備綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，還要運(yùn)算準(zhǔn)確