Question

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證：y=f（x）是奇函數(shù)；　　
（2）求證：函數(shù)y=f（x）在R上為減函數(shù)．
（3）試問在-3≤x≤3時，f（x）是否有最值？若有求出最值；若沒有，說出理由．

Answer 1

證明：（1）令x=y=0，則有f（0）=2f（0）?f（0）=0．
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)． …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．?f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上為減函數(shù)． …（10分）
（3）由（2）y=f（x）在R上為減函數(shù)，
∴y=f（x）在[-3，3]上為減函數(shù)，f（3）為函數(shù)的最小值，f（-3）為函數(shù)的最大值．
又f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函數(shù)最大值為6，最小值為-6…（14分）
分析：（1）利用賦值法：先令x=y=0?f（0）=0，再令y=-x?f（x）+f（-x）=0；
（2）利用單調(diào)性的定義：任取x₁＜x₂，?f（x₂-x₁）＜0?f（x₁）-f（x₂）＞0；
（3）由（2）y=f（x）在R上為減函數(shù)，?y=f（x）在[-3，3]上為減函數(shù)，從而可求得其最大值與最小值．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用（正用與逆用）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行證明與求最值，屬于中檔題．