Question

2．已知命題p：不等式|x-1|+|x+2|＞k²-2k對于任意x恒成立；命題q：（k-2）x²+（k-4）y²=1表示雙曲線．若p或q為真，p且q為假，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 由|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，因此不等式|x-1|+|x+2|＞k²-2k對于任意x恒成立，可得k²-2k＜3，解得k范圍．由（k-2）x²+（k-4）y²=1表示雙曲線可得（k-2）•（k-4）＜0，解得k范圍．由于命題p∨q為真且命題p∧q為假，所以p與q一真一假．

解答 解：∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴不等式|x-1|+|x+2|＞k²-2k對于任意x恒成立，可得k²-2k＜3，即k²-2k-3＜0，解得-1＜k＜2．
∴命題p等等價于：-1＜k＜2．（4分）
由（k-2）x²+（k-4）y²=1表示雙曲線可得（k-2）•（k-4）＜0，解得2＜k＜4．
即命題q等價于：2＜k＜4．（8分）
由于命題p∨q為真且命題p∧q為假，所以p與q一真一假．（9分）
由p真q假得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜k＜3}\\{k≤2或k≥4}\end{array}\right.$?-1＜k≤2 （10分）
由p假q真，$\left\{\begin{array}{l}{k≤-1或k≥3}\\{2＜k＜4}\end{array}\right.$?3≤k＜4 （11分）
綜合之得k的取值范圍是：（-1，2]∪[3，4）．（12分）

點評 本題考查了絕對值不等式的解法、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．