Question

已知函數(shù)f(x)=

px2+2

q-3x

是奇函數(shù)，且f(2)=-

5

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式可根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得出等式f（-x）=-f（x），及f(2)=-

5

3

建立方程，兩者聯(lián)立可求出函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，要設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，再f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，依據(jù)定義判斷出結(jié)論即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即

px2+2

q+3x

=-

px2+2

q-3x

（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因?yàn)?span id="6qekuck" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(2)=-

5

3

，
所以f(2)=

4p+2

-6

=-

5

3

，解得p=2．
故所求解析式為f(x)=

2x2+2

-3x

．（6分）
（Ⅱ）由（1）得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)．
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]═

2

3

(x1-x2)×

1-x1x2

x1x2

．（10分）
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
從而得到f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題 考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性建立方程求參數(shù)，這是奇偶性的一個(gè)重要應(yīng)用，做對(duì)本題的關(guān)鍵是根據(jù)定義轉(zhuǎn)化出正確的方程，利用定義法證明單調(diào)性時(shí)，要注意做題格式，及判號(hào)時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)．