Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；并求該曲線在x=1處的切線方程．
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）已知當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得函數(shù)的減區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)等于0，解得函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷是極大值還是極小值．
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個不同實(shí)根，則y=f（x）圖象與y=a圖象必有3個不同的交點(diǎn)，a應(yīng)該介于函數(shù)的極小值與極大值之間．
（Ⅲ）因?yàn)閤∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可轉(zhuǎn)化為k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，所以k小于等于

x3-6x+5

x-1

的最小值，再化簡

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）=x³-6x+5求導(dǎo)，得函數(shù)f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-

2

＜x＜

2

f′（x）=0，即3x²-6=0，解得x=

2

，或=＜-

2

f（-

2

）=5+4

2

，f（

2

）=5-4

2

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-

2

，

2

）
當(dāng)x=-

2

，f（x）有極大值5+4

2

；當(dāng)x=

2

，f（x）有極小值5-4

2

又∵f′（1）=-3，f（1）=0
∴曲線在x=1處的切線方程為y=-3x+3                 
（Ⅱ）當(dāng)5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點(diǎn)，此時方程f（x）=a有3個不同實(shí)根．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（5-4

2

，5+4

2

）
（Ⅲ）x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，則g（x）=

(x2+x-5)(x-1)

x-1

=x²+x-5，
∴g（x）的最小值為-3，∴k≤-3

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極值，以及函數(shù)的極值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)．