Question

已知橢圓 的離心率為，過的左焦點的直線被圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)的右焦點為，在圓上是否存在點，滿足,若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）;若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式、垂徑定理、兩圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用橢圓的左焦點坐標、離心率聯(lián)立得到橢圓的基本量a，b，c，從而得到橢圓的標準方程；第二問，先利用點到直線的距離公式計算出點到直線的距離，再利用垂徑定理求出圓的半徑，從而得到圓的具體方程，假設(shè)圓上存在點P滿足條件，利用兩點間距離公式列出方程，經(jīng)整理得到一個新的圓，利用2個圓心的距離和半徑的關(guān)系判斷出2個圓相交，所以說明存在兩個不同的點P.

試題解析：因為直線的方程為，

令，得，即 1分

∴ ，又∵，∴ ，

∴ 橢圓的方程為. ４分

（2）存在點P，滿足

∵ 圓心到直線的距離為，

又直線被圓截得的弦長為，

∴由垂徑定理得，

故圓的方程為. ８分

設(shè)圓上存在點，滿足即，

且的坐標為，

則，

整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。

∴ １２分

故有，即圓與圓相交，有兩個公共點。

∴圓上存在兩個不同點，滿足. １４分

考點：橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式、垂徑定理、兩圓的位置關(guān)系.