Question

在的展開(kāi)式中，已知第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3．
（1）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和及奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（2）求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．
注：所涉及的系數(shù)均用數(shù)字作答．

Answer 1

解：（1）由，解得n=10…
所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（1-2）¹⁰=1
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2^10-1=512
（2）因?yàn)橥��?xiàng)：
當(dāng)5-為整數(shù)，r可取0，6
展開(kāi)式是常數(shù)項(xiàng)，于是有理項(xiàng)為T₁=x⁵和T₇=13400
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則
解得，于是r只能為7
所以系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為
分析：（1）利用第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3，求出n的值，即可通過(guò)x=1求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和及奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（2）通過(guò)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，利用x的指數(shù)為0，求出展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；
（3）通過(guò)求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．