分析 (1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0,由此求得k值.
(2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)>0,求得a>1,f(x)在R上單調(diào)遞增,不等式化為f(x2+tx)>f(-2x-1),x2+tx>-2x-1,即 x2+(t+2)x+1>0 恒成立,由△<0求得t的取值范圍.
(3)由f(1)=$\frac{8}{3}$求得a的值,可得 g(x)的解析式,令t=f(x)=3x-3-x,可知f(x)=3x-3-x為增函數(shù),t≥f(1),令h(t)=t2-2mt+2,(t≥$\frac{8}{3}$),分類討論求出h(t)的最小值,再由最小值等于-2,求得m的值.
解答 解:(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(0)=0,…(2分)
∴1-(k-1)=0,∴k=2.…(4分)
(2)∵函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),
∵f(1)>0,∴a-$\frac{1}{a}$>0,又 a>0,
∴a>1.…(6分)
由于y=ax單調(diào)遞增,y=a-x單調(diào)遞減,故f(x)在R上單調(diào)遞增.
不等式化為f(x2+tx)>f(-2x-1).
∴x2+tx>-2x-1,即 x2+(t+2)x+1>0 恒成立,…(8分)
∴△=(t+2)2-4<0,解得-4<t<0.…(10分)
(3)∵f(1)=$\frac{8}{3}$,a-$\frac{1}{a}$=$\frac{8}{3}$,即3a2-8a-3=0,∴a=3,或 a=-$\frac{1}{3}$(舍去).…(12分)
∴g(x)=32x+3-2x-2m(3x-3-x)=(3x-23x)2-2m(3x-3-x)+2.
令t=f(x)=3x-3-x,由(1)可知k=2,故f(x)=3x-3-x,顯然是增函數(shù).
∵x≥1,∴t≥f(1)=$\frac{8}{3}$,
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥$\frac{8}{3}$)…(15分)
若m≥$\frac{8}{3}$,當t=m時,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2…(16分)
若m<$\frac{8}{3}$,當t=$\frac{8}{3}$時,h(t)min=$\frac{17}{4}$-3m=-2,解得m=$\frac{25}{12}$>$\frac{8}{3}$,舍去…(17分)
綜上可知m=2.…(18分)
點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,考查恒成立問題,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 充要條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | -1 | B. | 1或-3 | C. | 3 | D. | -1或3 |
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