已知橢圓,拋物線
的焦點(diǎn)均在
軸上,
的中心和
的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)
,每條曲線上取兩個點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表中:
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(1) ,
;(2)存在定點(diǎn)
.
解析試題分析:(1)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出基本量即得;(2)巧設(shè)直線的方程為
,由直線與橢圓相切,求得
,利用直線
與
的準(zhǔn)線相交求點(diǎn)
的坐標(biāo),寫出以
為直徑的圓的方程,利用恒成立求解.
試題解析:(1)設(shè),
的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
,
,∵
和
代入拋物線方程中得到的解相同,∴
, (3分)
又和
在橢圓上,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得
,
,則
,
的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為,
. (6分)
(2)設(shè)直線的方程為
,將其代入
消去
并化簡整理得:
,又直線與橢圓相切,
∴,∴
, (8分)
設(shè)切點(diǎn),則
,
,
又直線與
的準(zhǔn)線
的交點(diǎn)
,
∴以為直徑的圓的方程為
, (10分)
化簡整理得恒成立,
故,
,即存在定點(diǎn)
符合題意. (13分)
考點(diǎn): 橢圓、拋物線的性質(zhì),圓的性質(zhì),直線與圓橢圓的關(guān)系,定點(diǎn)問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C: (a>b>0)的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)都在圓
上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若ΔABF2為正三角形,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點(diǎn),求證
為鈍角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓
的右焦點(diǎn)為
,離心率為
.
分別過,
的兩條弦
,
相交于點(diǎn)
(異于
,
兩點(diǎn)),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線,
的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的四個頂點(diǎn)恰好是一邊長為2,一內(nèi)角為
的菱形的四個頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)若直線y =kx交橢圓C于A,B兩點(diǎn),在直線l:x+y-3=0上存在點(diǎn)P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
的左焦點(diǎn)為
,左、右頂點(diǎn)分別為
,上頂點(diǎn)為
,過
三點(diǎn)作圓
(Ⅰ)若線段是圓
的直徑,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若圓的圓心在直線
上,求橢圓的方程;
(Ⅲ)若直線交(Ⅱ)中橢圓于
,交
軸于
,求
的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
和雙曲線
的離心率互為倒數(shù),它們在第一象限交點(diǎn)的坐標(biāo)為
,設(shè)直線
(其中
為整數(shù)).
(1)試求橢圓和雙曲線
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
,與雙曲線
交于不同兩點(diǎn)
,問是否存在直線
,使得向量
,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知
,
,
,
,其中
.設(shè)直線
與
的交點(diǎn)為
,求動點(diǎn)
的軌跡的參數(shù)方程(以
為參數(shù))及普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知的頂點(diǎn)A在射線
上,
、
兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,0為坐標(biāo)原點(diǎn),且線段AB上有一點(diǎn)M滿足
當(dāng)點(diǎn)A在
上移動時,記點(diǎn)M的軌跡為W.
(Ⅰ)求軌跡W的方程;
(Ⅱ)設(shè)是否存在過
的直線
與W相交于P,Q兩點(diǎn),使得
若存在,
求出直線;若不存在,說明理由.
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