Question

曲線是平面內(nèi)與定點(diǎn)和定直線的距離的積等于的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)；

②曲線關(guān)于軸對(duì)稱；

③曲線與軸有個(gè)交點(diǎn)；

④若點(diǎn)在曲線上，則的最小值為.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．

 

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則依題意可得，將原點(diǎn)代入驗(yàn)證，方程成立，說明曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)，故①正確；把方程中的x不變，y被-y 代換，方程不變，說明曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故②正確；將代入方程可得，即方程只有一個(gè)根，所以③不正確；定點(diǎn)和定直線可看做是拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，設(shè)點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義可知點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，要使的最小值畫圖分析可知點(diǎn)應(yīng)在拋物線的內(nèi)側(cè)且，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，此時(shí)。故④正確。綜上可得正確的是①②④。

考點(diǎn)：1、定義法求軌跡；2、對(duì)稱問題；3、拋物線的定義；4、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。