Question

1．如圖在直角梯形BB₁C₁C中，∠CC₁B₁=90°，BB₁∥CC₁，CC₁=B₁C₁=2BB₁=2，D是CC₁的中點(diǎn)．四邊形AA₁C₁C可以通過直角梯形BB₁C₁C以CC₁為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B₁-CC₁-A為120°．
（1）若點(diǎn)E是線段A₁B₁上的動(dòng)點(diǎn)，求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接B₁D，DA₁．由已知可得四邊形B₁BDC是平行四邊形，B₁D∥BC，可得B₁D∥平面ABC．同理可得：DA₁∥平面ABC．可得平面B₁DA₁∥平面ABC；即可證明DE∥平面ABC．
（2）作C₁M⊥C₁B₁交A₁B₁于點(diǎn)M，分別以C₁M，C₁B₁，C₁C為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．設(shè)平面A₁ACC₁ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，連接B₁D，DA₁．
由已知可得：$B{B}_{1}\underset{∥}{=}\frac{1}{2}C{C}_{1}\underset{∥}{=}CD$，
∴四邊形B₁BDC是平行四邊形，∴B₁D∥BC，
而BC?平面ABC，B₁D?平面ABC；
∴B₁D∥平面ABC．
同理可得：DA₁∥平面ABC．又A₁D∩DB₁=D，
∴平面B₁DA₁∥平面ABC；DE?平面B₁DA₁；
∴DE∥平面ABC．
（2）解：作C₁M⊥C₁B₁交A₁B₁于點(diǎn)M，分別以C₁M，C₁B₁，C₁C為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則C₁（0，0，0），A₁（$\sqrt{3}$，-1，0），B（0，2，1），C（0，0，2），A（$\sqrt{3}$，-1，1），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），$\overrightarrow{CB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=（0，0，2）．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2）．
設(shè)平面A₁ACC₁ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{2}-{y}_{2}-{z}_{2}=0}\\{2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}×\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角B-AC-A₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、通過法向量的夾角求空間角、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，本題考查了學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．