Question

二次函數y=f（x）的圖象經過三點A（-3，7），B（5，7），C（2，-8）．
（1）求函數y=f（x）的解析式
（2）求函數y=f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）解A，B兩點縱坐標相同故可令
f（x）-7=a（x+3）（x-5）即f（x）=a（x+3）（x-5）+7
將C（2，-8）代入上式可得a=1
∴f（x）=（x+3）（x-5）+7=x²-2x-8（4分）
（2）由f（x）=x²-2x-8可知對稱軸x=1
①當t+1≤1即t≤0時y=f（x）在區(qū)間[t，t+1]上為減函數
∴f（x）_max=f（t）=t²-2t-8
f（x）_min=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-8=t²-9（6分）
②當t≥1時，y=f（x）在區(qū)間[t，t+1]9）上為增函數
∴f（x）_max=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-8=t²-
（x）_min=f（t）=t²-2t-8（8分）
③當1-t≥t+1-1＞0即時
f（x）_max=f（t）=t²-2t-8
f（x）_min=f（1）=-9（10分）
④當0＜1-t＜t+1-1即時
f（x）_max=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-8=t²-9
f（x）_min=f（1）=-9（12分）
分析：（1）由二次函數y=f（x）的圖象經過三點A（-3，7），B（5，7），故可設函數解析式為f（x）=a（x+3）（x-5）+7，將C（2，-8）代入求出a值，即可得到函數y=f（x）的解析式
（2）根據二次函數在定區(qū)間上最值的求示，我們分四種情況，對區(qū)間[t，t+1]上的最大值和最小值進行分類討論，即可得到結果．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，函數的值域，函數的解析式的求解及常用方法，其中（1）中將函數的解析式設為兩點式，可以簡化解答過程，（2）中分類討論時，分類的標準是區(qū)間與對稱軸的關系．