Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且橢圓C上一點(diǎn)N到點(diǎn)Q（0，3）的距離最大值為4，過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線交橢圓C于點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由離心率e=及a²=b²+c²可得關(guān)于a，b的方程，由此可簡(jiǎn)化橢圓方程，設(shè)N（x，y），則|NQ|可表示為關(guān)于y的函數(shù)，據(jù)此可求得其最大值為4，解得b，進(jìn)而求得a；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韋達(dá)定理及可用k、t表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程得36k²=t²（1+4k²）①，由弦長(zhǎng)公式及可得，故②，聯(lián)立①②可求得t的范圍；
解答：解：（Ⅰ）∵，∴a²=4b²，
則橢圓方程為，即x²+4y²=4b²．
設(shè)N（x，y），則=，
當(dāng)y=-1時(shí)，|NQ|有最大值為，
解得b²=1，∴a²=4，橢圓方程是；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），
由，整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
由△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，得，
．
∴，
則，．
由點(diǎn)P在橢圓上，得，化簡(jiǎn)得36k²=t²（1+4k²）①，
又由，即，
將x₁+x₂，x₁x₂代入得，化簡(jiǎn)得（8k²-1）（16k²+13）＞0，則，
∴②，由①，得，聯(lián)立②，解得3＜t²＜4，
∴或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．