(2013•奉賢區(qū)一模)若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則稱(chēng)f(x)是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”.有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論:
①f(x)=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”;
②f(x)=x不是“λ-伴隨函數(shù)”;
③f(x)=x2是“λ-伴隨函數(shù)”;
④“
1
2
-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。﹤(gè).
分析:①、設(shè)f(x)=C則(1+λ)C=0,當(dāng)λ=-1時(shí),可以取遍實(shí)數(shù)集,可判斷①;
②、假設(shè)f(x)=x是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”,則x+λ+λx=0,則有λ+1=λ=0,解方程可判斷②;
③、假設(shè)f(x)=x2是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”,則(x+λ)2+λx2=0,則有λ+1=2λ=λ2=0,解方程可判斷③;
④、令x=0,可得f(
1
2
)=-
1
2
f(0).若f(0)=0,f(x)=0有實(shí)數(shù)根;若f(0)≠0,f(
1
2
)•f(0)=-
1
2
(f(0))2<0.可得f(x)在(0,
1
2
)上必有實(shí)根,可判斷④
解答:解:①、設(shè)f(x)=C是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”,則(1+λ)C=0,當(dāng)λ=-1時(shí),可以取遍實(shí)數(shù)集,因此f(x)=0不是唯一一個(gè)常值“λ-同伴函數(shù)”,故①錯(cuò)誤
②、假設(shè)f(x)=x是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”,則x+λ+λx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,則有λ+1=λ=0,而此式無(wú)解,所以f(x)=x不是“λ-伴隨函數(shù)”,故②正確;
③、假設(shè)f(x)=x2是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”,則(x+λ)2+λx2=0,
即(1+λ)x2+2λx+λ2=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式無(wú)解,所以f(x)=x2不是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”.故③錯(cuò)誤
④、令x=0,得f(
1
2
)+
1
2
f(0)=0.所以f(
1
2
)=-
1
2
f(0).
若f(0)=0,顯然f(x)=0有實(shí)數(shù)根;若f(0)≠0,f(
1
2
)•f(0)=-
1
2
(f(0))2<0.
又因?yàn)閒(x)的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷,所以f(x)在(0,
1
2
)上必有實(shí)數(shù)根.
因此任意的“
1
2
-同伴函數(shù)”必有根,即任意“
1
2
-同伴函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn).故④正確.
故答案為:B.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素,函數(shù)的零點(diǎn),正確理解f(x)是λ-同伴函數(shù)的定義,是解答本題的關(guān)鍵.
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2
x
+
1
y
=1
,若x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
-4<m<2
-4<m<2

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(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=
1
anan+1
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.求
lim
n→∞
Tn
;
(3)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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3
4
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8
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