Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+b•x²的圖象過點(diǎn)（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若為實(shí)數(shù)）恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)m＞0時(shí)，討論在區(qū)間（0，2）上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（I）∵函數(shù)f（x）=1nx+b•x²的圖象過點(diǎn)（1，0），
∴0=ln1+b•1²，解得b=0，∴f（x）的解析式為f（x）=1nx；
（Ⅱ）恒成立，即，由x＞0可得t≤2xlnx，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，
可得h′（x）=2（lnx-1），故當(dāng)x∈（0，）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
故h_min（x）=h（）=，故t≤；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，，（x＞0）
∴=，令其為0可得x=m，或x=，
（1）當(dāng)時(shí)，m=1，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)在（0，2）為增函數(shù)，無極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)，且m＜，即＜m＜1時(shí)，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
（3）當(dāng)，或，即0＜m＜，或m＞2時(shí)，可知函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．
分析：（I）帶點(diǎn)可得b=0，進(jìn)而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）恒成立，即，由x＞0可得t≤2xlnx，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，求導(dǎo)數(shù)可得其最小值；
（Ⅲ）可得，求導(dǎo)數(shù)，令其為0可得x=m，或x=，分（1）（2），且m＜，（3），或三種情況討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)取極值點(diǎn)的條件，涉及函數(shù)恒成立問題和分類討論的思想，屬中檔題．