Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，又二面角P-CD-B為45°
（1）求證：①AF∥平面PEC   
②平面PEC⊥平面PCD
（2）設(shè)AD=2，CD=2

2

，求③點(diǎn)A到平面PEC的距離④二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線(xiàn)與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）①以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)AF的方向向量與平面PEC共面，可得AF∥平面PEC；
②根據(jù)平面PEC和平面PCD的法向量垂直，可得：平面PEC⊥平面PCD；
（2）③根據(jù)②中平面PEC的法向量，和向量

AP

的坐標(biāo)，代入點(diǎn)平面距離公式，可得點(diǎn)A到平面PEC的距離；
④求出平面AEF和平面CEF的法向量，代入向量加角公式，可得二面角A-EF-C的余弦值．

解答： 證明：（1）①∵CD⊥AD，CD⊥AP，AD，AP?面PAD，AD∩AP=A，
∴CD⊥面PAD，
∴∠PDA為P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，
∴PA=AD，
記AD=a，AB=b，以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A(0，0，0)，B(b，0，0)，C(b，a，0)，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E(

b

2

，0，0)，F(xiàn)(0，

a

2

，

b

2

)
則

AF

=(0，

a

2

，

a

2

)，

EP

=(-

b

2

，0，a)，

EC

=(

b

2

，a，0)
則

AF

=

1

2

EP

+

1

2

EC

，
∴

AF

與面PEC共面，
∴AF∥面PEC…（4分）
②由

EP

=(-

b

2

，0，a)，

EC

=(

b

2

，a，0)可求平面EPC的一個(gè)法向量

n

=(a，-

b

2

，

b

2

)
同理可求平面PCD的一法向量為

m

=(0，

a

2

，

a

2

)，
∴

n

•

m

=0，即

n

⊥

m

所以平面PEC⊥平面PCD…（4分）
（2）③可知平面PEC的法向量為

n

=(2，-

2

，

2

)且

AP

=(0，0，2)
所以A到平面PEC的距離d=

| AP • n |

| n |

=1…（3分）
④由

AE

=(

2

，0，0)，

AF

=(0，1，1)，可求平面AEF的一法向量

p

=(0，1，-1)
由

CE

=(-

2

，-2，0)，

CF

=(-2

2

，-1，1)，可求平面CEF的一法向量

q

=(

2

，-1，3)
則cos＜

p

，

q

＞=-

6

3

，此時(shí)二面角A-EF-C的平面角θ=π-＜

p

，

q

＞
所以所求值為cosθ=

6

3

…（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線(xiàn)與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，把空間線(xiàn)面夾角及距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量夾角和模的問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．