Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=2ⁿ-1（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）若存在n∈N^*，使得a_n≤n（n+1）λ成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）在遞推式中取n取n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用錯位相減法求其前n項和；
（Ⅱ）把數(shù)列的通項公式代入a_n≤n（n+1）λ，分離參數(shù)λ后構造輔助函數(shù)f(n)=

2n-1

n+1

，利用作商法得到該函數(shù)為增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵a1+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=2n-1     ①
∴a1+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1（n≥2）②
①-②得：

an

n

=2n-1(n≥2)，
∴an=n•2n-1（n≥2）．
驗證n=1時成立．
∴Sn=1×20+2×21+…+(n-1)2^n-2+n•2^n-1
則2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)2^n-1+n•2ⁿ
兩式相減得：-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-1-（n-1）2ⁿ
∴Sn=1+(n-1)2n；
（Ⅱ）∵an=n•2n-1，
由a_n≤n（n+1λ，得λ≥

an

n(n+1)

=

2n-1

n+1

，
令f(n)=

2n-1

n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+2

•

n+1

2n-1

=

2n+2

n+2

＞1，
∴f（n）單調遞增，
∴fmin(n)=f(1)=

1

2

，
∴λ≥

1

2

，
故λ的最小值為

1

2

．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了作差法求數(shù)列的通項公式，訓練了利用錯位相減法求數(shù)列的和，分離變量λ并構造函數(shù)是解答（Ⅱ）的關鍵，是中檔題．