Question

17．已知cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），則cos（$\frac{π}{12}$-α）=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 由角的范圍，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（$\frac{π}{4}$+α）的值，由角的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡所求即可求值．

解答 解：∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{4}$+α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\sqrt{1-cos（\frac{π}{4}+α）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{12}$-α）
=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{12}$-α）]
=sin（$\frac{5π}{12}$+α）
=sin[$\frac{π}{6}$+（$\frac{π}{4}$+α）]
=sin$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{4}$+α）+cos$\frac{π}{6}$sin（$\frac{π}{4}$+α）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$
=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．