Question

直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：由于A，B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，故他們應(yīng)滿足橢圓方程，設(shè)出它們的坐標(biāo)，然后根據(jù)它們的中點(diǎn)為M，可將坐標(biāo)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線l的斜率，然后再由點(diǎn)斜式求出直線方程．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，①

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1．②
①-②，得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0．
∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

•

x1+x2

y1+y2

．
又∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∴直線l的斜率為-

3

4

．
∴直線l的方程為y-1=-

3

4

（x-1），
即3x+4y-7=0．

點(diǎn)評(píng)：在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．