Question

設(shè)數(shù)列的前項和為，，數(shù)列的通項公式為．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，

①求；

②若，求數(shù)列的最小項的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n＝＝2n．

（2） 當(dāng)x≠1時， T_n＝．當(dāng)x＝1時，T_n＝n²＋n．

（3）．

【解析】（1）由與的關(guān)系得，又，

；（2）由（1）得，討論分別用公式法和錯誤相減法求和；

時，＝ ，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性得最小值

（1）a_n＝＝2n．…………………4分

  （若沒有交待a₁扣1分）

（2）c_n＝．

T_n＝2＋4x＋6x²＋8x³＋……＋ ．      ①

則xT_n＝2x＋4x²＋6x³＋8x³＋……＋ ．   ②

①－②，得(1－x)T_n＝2＋2x＋2x²＋……＋－．

當(dāng)x≠1時，(1－x)T_n＝2×－．所以T_n＝．…8分

當(dāng)x＝1時，T_n＝2＋4＋6＋8＋……＋2n＝n²＋n．…………………10分

（3）當(dāng)x＝2時，T_n＝2＋．

則＝． ……………………11分

設(shè)f(n)＝．

因為f(n＋1)－f(n)＝－＝＞0， …………14分

所以函數(shù)f(n)在n∈N_＋上是單調(diào)增函數(shù)．   …………………15分

所以n＝1時，f(n)取最小值，即數(shù)列{}的最小項的值為