Question

1．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-2c=0．
（1）求A．
（2）若等差數列{a_n}的公差不為零，且a₁cosA=-1，且a₂、a₄、a₈成等比數列，設{a_n}的前n項和為T_n，求數列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理對acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-2c=0變形、結合三角形內角和定理可知$\sqrt{3}$sinA-cosA=2，進而利用輔助角公式可得結論；
（2）通過（1）可知a₁=2，利用a₂、a₄、a₈成等比數列可知數列{a_n}是首項、公差均為2的等差數列，利用等差數列的求和公式可知T_n=n（n+1），進而利用裂項相消法計算即得結論．

解答 解：（1）因為acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-2c=0，
所以sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-2sinC=0，
所以sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，
又因為sinC≠0，
所以$\sqrt{3}$sinA-cosA=2，
∴sin（A-30°）=1，
∴A-30°=90°，
∴A=120°；
（2）由（1）可知cosA=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
又因為a₁cosA=-1，
所以a₁=2，記等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），
則由a₂、a₄、a₈成等比數列可知（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得：d=2，
所以數列{a_n}是首項、公差均為2的等差數列，
所以數列{a_n}的前n項和T_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
因為$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查三角恒等變換，考查數列的通項及前n項和，考查正弦定理、輔助角公式，考查裂項相消法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．