Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+ax，x＞0}\\{0，x=0}\\{{e}^{-x}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，-e）
• C． （e，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，則要求函數(shù)f（x）有5個(gè)零點(diǎn)，只要求出當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)即可，分別y=e^x與y=-ax的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出．

解答 解：∵f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∵當(dāng)x=0，f（x）=0時(shí)，
∴要求函數(shù)f（x）有5個(gè)零點(diǎn)，
只要求出當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)即可，
分別y=e^x與y=-ax的圖象，如圖所示，
設(shè)直線y=-ax與y=e^x相切，
切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∴y′=e^x，
∴k=${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，
∴x₀=1
∴-a=e，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)即可．
∴-a＞e，
∴a＜-e，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的問題，以及函數(shù)的奇偶性，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．