Question

設(shè)f（x）=log_a（1-

2

x

）（a＞0且a≠1），將y=f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，F(xiàn)（x）=

1+ax

1-ax

．
（1）設(shè)關(guān)于x的方程log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在區(qū)間[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；
（2）當(dāng)a=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：g（2）+g（3）+…+g（n）＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（3）當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，試比較|

n

k=1

F（k）-n|與4的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出g（x），log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求出t的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定t的范圍；
（2）a=e求出g（2）+g（3）+…+g（n），利用導(dǎo)數(shù)推出是增函數(shù)，求出最小值，即可證明；
（3）利用放縮法，求出|

n

k=1

F（k）-n|的取值范圍，最后推出小于4即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=log_a（1-

2

x+1

）=log_a

x-1

x+1

，
∴l(xiāng)og_a

t

(x2-1)(7-x)

=log_a

x-1

x+1

，
關(guān)于x的方程log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在區(qū)間[2，6]上有實(shí)數(shù)解
?t=（x-1）²（7-x）區(qū)間[2，6]上有實(shí)數(shù)解，
令h（x）=（x-1）²（7-x），h′（x）=2（x-1）（7-x）-（x-1）²=（x-1）（15-3x），
令h′（x）=0，則x=1（舍去）或x=5．在x=5處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，
故x=5時(shí)取極大值，也為最大值32，
當(dāng)x=2時(shí)，取最小值且為5．故t的取值范圍是[5，32]；
（2）g（2）+g（3）+…+g（n）=ln（

1

3

×

2

4

×…×

n-1

n+1

）=-ln

n(n+1)

2

，
令u（z）=-lnz-

1-z2

z

=-2lnz+z-

1

z

，u′（z）=-

2

z

+1+

1

z2

=（1-

1

z

）²≥0，
∴u（z）在（0，+∞）遞增，
∵

n(n+1) 2

＞1，∴u（

n(n+1) 2

）＞u（1）=0，
即有l(wèi)n

2

n(n+1)

＞

1- n(n+1) 2

n(n+1) 2

，
故g（2）+g（3）+…+g（n）＞

2-n-n2

2n(n+1)

．
（3）設(shè)a=

1

1+p

，則p≥1，1＜F（1）=

1+a

1-a

=1+

2

p

≤3．
當(dāng)a=1，|F（1）-1|=

2

p

≤2＜4，
當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)k≥2，k∈N*，
F（k）=

(1+p)k+1

(1+p)k-1

=1+

2

(1+p)k-1

=1+

2

C 1 k p +C 2 k p2+… +C k k pk

∴1＜F（k）≤1+

2

C 1 k +C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，
從而u-1≤

n

k=1

F（k）≤n-1+

4

2

-

4

n+1

=n+1-

4

n+1

＜n+1．
∴a＜

n

k=1

F（k）＜F（1）+n+1≤n+4．
綜上總有，當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，|

n

k=1

F（k）-n|≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸、分類(lèi)整合等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．