Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。

(1)求證：BM∥平面PAD；

(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.

答案：（1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥        （4分）

 （2）以為原點(diǎn)，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，

在平面內(nèi)設(shè)，，，  由        

由        

是的中點(diǎn)，此時(shí)                    （8分）

 （3）設(shè)直線與平面所成的角為

，，設(shè)為

   

故直線與平面所成角的正弦為                            （12分）

解法二：

 （1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥        （4分）

 （2）由（1）知為平行四邊形

，又

    同理，

    為矩形    ∥，，又

        

    作故

交于，在矩形內(nèi)，，

，    為的中點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，                                （8分）

 （3）由（2）知為點(diǎn)到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為，

直線與平面所成的角的正弦值為       

點(diǎn)評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來