Question

（本小題滿分12分）

在平面內(nèi)，不等式確定的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415295869813412/SYS201208241530312507902226_ST.files/image003.png">，不等式組確定的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415295869813412/SYS201208241530312507902226_ST.files/image005.png">.

（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”. 在區(qū)域任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域的概率；

（Ⅱ）在區(qū)域每次任取個(gè)點(diǎn)，連續(xù)取次，得到個(gè)點(diǎn)，記這個(gè)點(diǎn)在區(qū)域的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ））.

【解析】（1）畫出平面區(qū)域和平面區(qū)域.可分別找到區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，由概率公式計(jì)算出恰有

2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域的概率；（2）本題屬于幾何概型，先求出平面區(qū)域的面積和區(qū)域與區(qū)域相交部

分的面積，由幾何概型的概率公式得在區(qū)域任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域的概率的值，又隨機(jī)變量的可能取值為：.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望．

（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域的整點(diǎn)為：共有13個(gè)，上述整點(diǎn)在平面區(qū)域的為：共有3個(gè)，

∴.    ……………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域的面積為，

平面區(qū)域與平面區(qū)域相交部分的面積為.

（設(shè)扇形區(qū)域中心角為，則得，也可用向量的夾角公式求）.

在區(qū)域任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域的概率為，隨機(jī)變量的可能取值為：.

，          ，

，   ，

∴的分布列為

	0	1	2	3

∴的數(shù)學(xué)期望：.  ………………………（12分）

（或者：～，故）.