Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=

an-1

can-1+1

(c為常數(shù)，n∈N*，n≥2)．又a1，a2，a5成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證{

1

an

}為等差數(shù)列，并求c的值；
（Ⅱ）設(shè){bn}：b1=

2

3

，bn=an-1an+1(n≥2，n∈N*)，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和．求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得 a_n≠0，化簡(jiǎn)條件可得

1

an

-

1

an-1

=c，可得{

1

an

}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的定義求出{

1

an

}的通項(xiàng)公式，由 a₂²=a₁a₅ 解得c的值．
（Ⅱ）先求出{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=

1

(2n-3)(2n+1)

 (n≥2)，用裂項(xiàng)法求出{b_n}的前n項(xiàng)和s_n，從而求得

lim

n→∞

Sn的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得 a_n≠0．否則，若存在a_n=0（n＞1）．由遞增式必有a_n-1=0，從而導(dǎo)致a₁=0，這與a₁=1矛盾．
∴

1

an

-

1

an-1

= c，故{

1

an

}是以c為公差，

1

a1

=1為首項(xiàng)的等差數(shù)列．
故

1

an

= 1+(n-1)c，∴an=

1

1+(n-1)c

．
從而 a2=

1

1+c

，a5=

1

1+4c

，由 a₂²=a₁a₅ 解得 c=2或c=0．當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₅，舍去．故取 c=2．
（Ⅱ）a_n=

1

2n-1

，故對(duì){bn}：b1=

2

3

，bn=

1

(2n-3)(2n+1)

(n≥2)，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

2

3

+

1

4

[(1-

1

5

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

5

-

1

9

)+(

1

7

-

1

11

)+…+(

1

2n-5

-

1

2n-1

)+(

1

2n-3

)-

1

2n+1

]=

2

3

+

1

4

(1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

4

(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=

2

3

+

1

4

（1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

4

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
故

lim

n→∞

Sn=1-

1

4

lim

n→∞

(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，求數(shù)列的極限，求出S_n的值，是解題的難點(diǎn)，屬于難題．